Analisi Statistica del dataframe Basketball Teams, Gruppo Lampedusa
<<<<<<< HEADBonsembiante Davide [1086863], Fumagalli Uriel [1085169], Gallizioli Lorenzo [1087404], Paganelli Thomas [1085805]
=======Bonsembiante Davide, Fumagalli Uriel, Gallizioli Lorenzo, Paganelli Thomas
>>>>>>> c5fb26b510cb7910bcb465346492fd3195b394262024-01-07
Abstract
Questo documento rappresenta un’approfondita analisi statistica nel campo del basket professionistico, con un focus specifico sulle prestazioni delle squadre NBA. Utilizzando metodi statistici avanzati, si esplorano diverse metriche chiave per comprendere meglio le dinamiche del gioco e i fattori che influenzano il successo delle squadre.Indice
- Indice
- Progetto scelto: 5
- Presentazione problema
- Analisi dati iniziale e grafici
- Presentazione modello
lineare
- Modello: L’importanza dei rimbalzi
- Formule
- Modello lineare sul dataframe train
- Legenda significato acronimi:
- Divisione dataframe in train e test
- Modello lineare normalizzato sul dataframe train
- Normalizzazione
- Grafici
- Test modello lineare
- Rimozione outliers e LASSO
- Identificazione degli Outliers
- Rimozione degli Outliers
- Confronto dei Modelli Prima e Dopo la Rimozione degli Outliers
- Grafico di Influenza:
- Visualizzazione Residui e Leverage
- Risultati
- Implementazione del Modello LASSO per l’Ottimizzazione della Regressione
- Allenamento modello LASSO
- Valutazione Comparativa delle Previsioni: LASSO contro Modello Lineare
- Valutazione delle Prestazioni del Modello
- Calcolo delle Metriche di Valutazione
- Analisi della Varianza (ANOVA) per Valutazione di Fattori Categorici
- Analisi dell’Effetto della Variabile ‘confID’
- Analisi degli Effetti di Interazione
- Costruzione del Modello con Effetti di Interazione
- Selezione delle Interazioni Significative
- Rifinitura e Valutazione del Modello Finale
- Esplorazione del Modello di Regressione di Poisson
- Considerazioni Generali:
- Conclusioni
Progetto scelto: 5
- Variabile Dipendente
- Numero di Vittorie per Stagione: Questa variabile rappresenta l’obiettivo primario dell’analisi, indicando il successo complessivo di una squadra nel corso di una singola stagione NBA.
- Covariate
- Variabili Selezionate: A seconda degli obiettivi specifici dell’analisi, verranno incluse diverse covariate. Queste possono comprendere una vasta gamma di metriche di gioco.
- Criterio di Selezione della Squadra
- Partite Giocate: Nel dataset, si considereranno esclusivamente le
squadre che hanno disputato un totale di 82 partite nella stagione
(identificate come
df$games == 82). Questo criterio assicura l’uniformità e la comparabilità dei dati analizzati.
- Partite Giocate: Nel dataset, si considereranno esclusivamente le
squadre che hanno disputato un totale di 82 partite nella stagione
(identificate come
Presentazione problema
In questo report, ci siamo concentrati sull’elaborazione di un modello lineare predittivo per determinare il numero di vittorie in funzione dei rimbalzi annuali effettuati dalle squadre nella NBA. Il modello si applica esclusivamente a squadre che hanno disputato almeno 82 partite per stagione, considerando un arco temporale che va dal 1976 al 2011.
L’approccio del modello lineare si basa sull’adozione di coefficienti accuratamente selezionati, mirati a massimizzare la significatività e l’aderenza alla nostra interpretazione dell’impatto di specifiche variabili sulle vittorie. Questi coefficienti sono stati scelti in modo da riflettere al meglio la nostra concezione di quali fattori influenzino maggiormente il successo delle squadre.
Ulteriori informazioni riguardanti l’esecuzione del programma e l’utilizzo della funzione predittiva sono fornite nei paragrafi successivi, dove viene anche descritto il processo di sviluppo e validazione del modello.
Analisi dati iniziale e grafici
Il chunk riportato legge un dataset da un file, filtra le righe in base ai criteri sopra riportati, calcola una nuova variabile e offre la possibilità di ottenere un riassunto statistico dei dati filtrati.
# Leggi il dataset da un file di testo
filepath <- here("0_Materiale", "basketball_teams.txt")
dataset <- read.delim(filepath)
# Definisci il primo e l'ultimo anno del range da considerare per lo studio
FIRST <- 1976
LAST <- 2011
# Filtra il dataset secondo le condizioni specificate
df <- dataset[dataset$lgID == "NBA" & dataset$year >= FIRST & dataset$year <= LAST & dataset$games == 82,]
# Converti la colonna lgID in un fattore per consentire la generazione di variabili dummy
dataset$lgID <- as.factor(dataset$lgID)
# Stampiamo un riassunto statistico del dataframe filtrato
# summary(df)Correlazione dati
La mappa di calore della matrice di correlazione, o “corrplot”, è un metodo visivo efficace per esaminare le relazioni bivariate tra tutte le variabili di un dataset. In questo particolare corrplot, ogni cella rappresenta il coefficiente di correlazione tra le variabili sulle righe e le colonne. Le tonalità di colore variano in base alla forza e alla direzione della correlazione:
- Le tonalità più scure di viola indicano una correlazione negativa forte o nessuna correlazione.
- Le tonalità più chiare di arancione o bianco indicano una correlazione positiva.
L’asse delle ordinate (Y) e l’asse delle ascisse (X) elencano le variabili incluse nel dataset, permettendo di identificare rapidamente quali coppie di variabili mostrano le correlazioni più forti. Ad esempio, una cella chiara sulle diagonali rappresenta la perfetta correlazione positiva di una variabile con sé stessa, mentre le altre celle off-topic permettono di vedere come ogni variabile si relaziona con le altre.
Questa rappresentazione grafica è particolarmente utile per identificare potenziali problemi di multicollinearità in modelli di regressione, dove variabili altamente correlate possono distorcere o influenzare eccessivamente i risultati. Inoltre, può aiutare a scoprire pattern interessanti nei dati che potrebbero meritare ulteriori indagini.
<<<<<<< HEAD ======= >>>>>>> c5fb26b510cb7910bcb465346492fd3195b39426Analisi vittorie
Boxplot
Il grafico presentato è un insieme di box plot, una rappresentazione grafica utilizzata per evidenziare la distribuzione e la variabilità delle vittorie per diverse squadre sportive, ognuna codificata con un colore distinto. Il box plot visualizza cinque statistiche descrittive principali: il minimo, il primo quartile (Q1), la mediana, il terzo quartile (Q3) e il massimo. La linea che attraversa il box rappresenta la mediana, il valore centrale del dataset. Le “antenne” si estendono dal box fino ai valori minimi e massimi esclusi gli outliers, che sono rappresentati come punti individuali. Questo tipo di grafico è particolarmente utile per confrontare le distribuzioni tra più gruppi e per identificare eventuali deviazioni significative dalla norma.
<<<<<<< HEAD ======= >>>>>>> c5fb26b510cb7910bcb465346492fd3195b39426Dall’analisi del box plot si osserva un’ampia variazione nel numero di vittorie tra le squadre. Alcune squadre dimostrano una maggiore coerenza nelle prestazioni, come evidenziato da box più stretti, mentre altre presentano una maggiore dispersione dei risultati, suggerendo una variabilità significativa nelle loro prestazioni durante la stagione. Gli outliers indicano delle prestazioni eccezionali o sotto la media rispetto al resto del campione. La mediana di ciascuna squadra offre una valutazione robusta delle loro prestazioni tipiche escludendo l’influenza di tali valori anomali.
Densità
Il secondo grafico è un diagramma di densità, il quale fornisce una stima continua della distribuzione di probabilità delle vittorie complessive. La linea curva riflette la densità di probabilità, dove picchi più alti corrispondono a un numero maggiore di osservazioni vicine a un particolare valore. La linea rossa verticale indica la media delle vittorie, fornendo un punto di riferimento per la posizione centrale della distribuzione.
<<<<<<< HEAD ======= >>>>>>> c5fb26b510cb7910bcb465346492fd3195b39426Osservando il diagramma di densità, si nota che la distribuzione delle vittorie complessive assume una forma approssimativamente simmetrica attorno alla media, indicata dalla linea rossa verticale. Questo suggerisce che, per il campione in esame, le vittorie sono distribuite in modo relativamente uniforme intorno al valore medio, con una tendenza a seguire una distribuzione normale. Tale simmetria e il picco pronunciato attorno alla media possono implicare che le prestazioni delle squadre tendono a raggrupparsi intorno a un ‘valore tipico’, con deviazioni che seguono un modello prevedibile.
Analisi rimbalzi
Nel nostro dataframe sono incluse variabili specifiche per analizzare in dettaglio il ruolo dei rimbalzi nel basket. Ecco una descrizione degli acronimi utilizzati:
- o_oreb: Rimbalzi ottenuti in attacco
- Questo valore rappresenta il numero di volte in cui una squadra recupera la palla dopo un tiro mancato mentre è in fase offensiva. È un indicatore diretto dell’aggressività e dell’efficacia offensiva di una squadra.
- o_dreb: Rimbalzi subiti in attacco
- Indica il numero di rimbalzi che una squadra concede all’avversario mentre è in attacco. Un valore più basso suggerisce una maggiore capacità di mantenere il controllo della palla dopo un tiro mancato.
- o_reb: Totale rimbalzi in attacco
- Questa è la somma dei rimbalzi ottenuti e subiti in attacco. Fornisce una misura complessiva dell’attività di rimbalzo di una squadra quando è in fase offensiva.
- d_oreb: Rimbalzi subiti in difesa
- Rappresenta il numero di rimbalzi che una squadra permette all’avversario di ottenere mentre è in difesa. Minimizzare questo numero è cruciale per prevenire seconde opportunità di punteggio per l’avversario.
- d_dreb: Rimbalzi ottenuti in difesa
- Indica il numero di volte in cui una squadra recupera la palla dopo un tiro mancato dall’avversario mentre è in difesa. È un indicatore chiave dell’efficacia difensiva e della capacità di interrompere l’attacco avversario.
- d_reb: Totale rimbalzi in difesa
- Questo è il totale dei rimbalzi che una squadra ottiene o concede mentre è in difesa. Offre una visione olistica dell’impegno e dell’efficacia di una squadra nel controllare la zona difensiva durante il gioco.
Densità variabili singole
Gli istogrammi delle variabili (di cui abbiamo approssimato la curva di densità) che ora vediamo rappresentano la distribuzione dei dati per diverse variabili, mostrando la frequenza o la probabilità di osservazione entro intervalli specifici. Le curve di densità forniscono una stima continua della distribuzione di probabilità e sono spesso confrontate con una distribuzione normale, indicata da una linea rossa.
Dai grafici osservati, è possibile trarre conclusioni riguardo la normalità della distribuzione dei dati per ciascuna variabile. Se la curva di densità blu segue da vicino la linea rossa della distribuzione normale, ciò implica che i dati di quella variabile potrebbero essere ben modellati da una distribuzione normale. Deviazioni significative da questa linea potrebbero indicare asimmetria o presenza di outlier. Tali informazioni sono vitali per la scelta di test statistici appropriati e per la comprensione delle caratteristiche fondamentali dei dati analizzati.
Percentuale di valori non zero per ciascuna variabile di interesse
Viene Calcolata la percentuale di valori non zero per ciascuna variabile di interesse all’interno del dataframe df_reb, serve per verificare ulteriormente la consistenza dei dati acqusiti.
## [1] "Percentage non-zero o_oreb: 100"## [1] "Percentage non-zero o_dreb: 100"## [1] "Percentage non-zero o_reb: 100"## [1] "Percentage non-zero d_oreb: 100"## [1] "Percentage non-zero d_dreb: 100"## [1] "Percentage non-zero d_reb: 100"Heatmap
Il grafico presentato è una combinazione di heatmap e dendrogramma. La heatmap è una rappresentazione visiva dei dati dove i valori individuali contenuti in una matrice sono rappresentati come colori. In questo caso, è probabile che i colori rappresentino l’intensità dei rimbalzi (offensivi e difensivi) di squadre sportive, mentre i dendrogrammi ai lati rappresentano una gerarchia di clustering basata sulla somiglianza delle prestazioni tra le squadre. Questo tipo di visualizzazione permette di identificare rapidamente modelli, come gruppi di squadre con prestazioni simili, e correlazioni tra i diversi tipi di rimbalzi.
<<<<<<< HEAD ======= >>>>>>> c5fb26b510cb7910bcb465346492fd3195b39426L’analisi della heatmap e del dendrogramma indica l’esistenza di distinti gruppi di squadre che mostrano pattern simili nei rimbalzi. I cluster formati nel dendrogramma evidenziano relazioni che non sarebbero immediatamente ovvie senza questa forma di analisi gerarchica. Le gradazioni di colore nella heatmap offrono una visione intuitiva dell’intensità dei rimbalzi: colori più caldi indicano un numero maggiore di rimbalzi, mentre colori più freddi ne indicano di meno. Questo permette di identificare facilmente le squadre con prestazioni eccezionali o sottotono.
Barplot
Il secondo grafico è un diagramma a barre sovrapposte che confronta due variabili categoriche: i rimbalzi offensivi e difensivi per ogni squadra, rappresentati con colori distinti. Le barre verticali mostrano il numero totale di rimbalzi per ciascuna squadra, permettendo di comparare direttamente i rimbalzi offensivi con quelli difensivi.
<<<<<<< HEAD ======= >>>>>>> c5fb26b510cb7910bcb465346492fd3195b39426L’esame del grafico a barre sovrapposte non rivela variazioni significative nel rapporto tra rimbalzi offensivi e difensivi tra le squadre, mostrando una tendenza all’auto-bilanciamento tra le due.
Densità
Il terzo grafico è un diagramma di densità che confronta la distribuzione totale dei rimbalzi con una distribuzione normale ideale. La densità è mostrata dalla curva blu, mentre la distribuzione normale ideale è rappresentata dalla linea verde (con area sottostante). La linea rossa tratteggiata indica la media dei rimbalzi totali.
<<<<<<< HEAD ======= >>>>>>> c5fb26b510cb7910bcb465346492fd3195b39426Analizzando il diagramma di densità, si osserva che la distribuzione dei rimbalzi totali segue abbastanza fedelmente una distribuzione normale, come indicato dalla sovrapposizione delle due curve. La media, indicata dalla linea rossa, cade quasi al centro della curva di densità, suggerendo che la maggior parte delle squadre ha un numero di rimbalzi vicino alla media del campione.
Boxplot
L’ultimo grafico è un insieme di box plot, simile al primo grafico condiviso, ma questa volta per rimbalzi offensivi e difensivi. Ogni squadra è rappresentata da due box plot adiacenti, uno per i rimbalzi offensivi (o_reb) e uno per i rimbalzi difensivi (d_reb), permettendo un confronto immediato tra le due metriche per ogni squadra.
<<<<<<< HEAD ======= >>>>>>> c5fb26b510cb7910bcb465346492fd3195b39426Il grafico mostra che c’è variabilità sia nei rimbalzi offensivi sia in quelli difensivi tra le diverse squadre. Si notano differenze nella mediana, nella variabilità e nella presenza di valori anomali (outliers), il che potrebbe indicare diverse efficacie o stili di gioco. Ad esempio, alcune squadre potrebbero avere una forte tendenza ai rimbalzi difensivi ma meno capacità nei rimbalzi offensivi, o viceversa, fornendo spunti per ulteriori indagini sulle strategie di gioco.
Test
Test Anderson-Darling
Il test Anderson-Darling è un test statistico non parametrico,
utilizzato per verificare l’ipotesi che un campione di dati provenga da
una particolare distribuzione, in questo caso, la distribuzione normale.
È particolarmente sensibile alle deviazioni nella coda della
distribuzione.
- Range: 0 a \(+\infty\)
- Interpretazione: Valori più bassi indicano una
maggiore aderenza alla distribuzione normale. Si confronta il valore di
test con valori critici specifici per determinare se rifiutare l’ipotesi
di normalità.
# Questo codice esegue il test di Anderson-Darling sulla variabile 'reb' nel tuo dataset (df)
ad.test(df$reb)##
## Anderson-Darling normality test
##
## data: df$reb
## A = 3.6997, p-value = 3.1e-09Con un livello di significatività (\(\alpha\)) di 0.01 e un p-value molto piccolo (3.1e-09) ottenuto dal test di normalità di Anderson-Darling per i dati della variabile df$reb, si puo concludere che si hanno sufficienti evidenze statistiche per respingere lipotesi nulla che i dati seguano una distribuzione normale. Con il livello di significatività del 0.01 e il p-value molto piccolo (3.1e-09), il p-value è inferiore al livello di significatività, quindi si respinge lipotesi nulla. Questo suggerisce che i dati nella variabile df$reb non seguono una distribuzione normale al livello di significatività del 0.01. In termini più pratici, si hanno abbastanza evidenze statistice per concludere che la variabile df$reb non segue una distribuzione normale.
Test Kolmogorov-Smirnov
Il test Kolmogorov-Smirnov (K-S) è un metodo non parametrico
utilizzato per determinare se un campione di dati segue una specifica
distribuzione, in questo caso, la distribuzione normale. È ampiamente
impiegato per la sua generalità e la facilità di implementazione.
- Range: 0 a 1
- Interpretazione: Valori più bassi indicano una
maggiore somiglianza alla distribuzione normale. Un valore di test
significativamente grande porta al rifiuto dell’ipotesi di
normalità.
# Test di Kolmogorov-Smirnov per confrontare la distribuzione di 'reb' con una distribuzione normale
ks.test(df$reb, "pnorm")##
## Asymptotic one-sample Kolmogorov-Smirnov test
##
## data: df$reb
## D = 1, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: two-sidedIl test KS confronta la distribuzione empirica dei dati con una distribuzione teorica (spesso una distribuzione uniforme). In breve, il risultato suggerisce che i nostri dati non seguono la distribuzione teorica normale presunta, e cè un elevata probabilità che la differenza osservata sia statisticamente significativa.
Test Shapiro-Wilk
Il test Shapiro-Wilk è un metodo statistico non parametrico
utilizzato specificatamente per testare la normalità di un campione di
dati. È noto per la sua affidabilità e precisione, soprattutto in
campioni di dimensioni ridotte.
- Range: 0 a 1
- Interpretazione: Valori più vicini a 1 suggeriscono
una maggiore aderenza alla distribuzione normale. Valori
significativamente bassi indicano la deviazione dalla normalità.
# Test di Shapiro-Wilk per la normalità dei dati nella variabile 'reb' (rimbalzi)
sf.test(df$reb)##
## Shapiro-Francia normality test
##
## data: df$reb
## W = 0.98016, p-value = 1.758e-08In sintesi, il risultato del test di Shapiro-Francia indica che i dati nella variabile df$reb non seguono una distribuzione normale. Questo è supportato dal valore basso del p-value, il quale suggerisce che la differenza tra la distribuzione dei dati e una distribuzione normale è statisticamente significativa.
Presentazione modello lineare
Modello: L’importanza dei rimbalzi
Abbiamo creato un modello lineare per esplorare come i rimbalzi influenzano le vittorie in NBA. L’idea è semplice: capire se squadre che rimbalzano meglio vincono di più. Il modello analizza diversi tipi di rimbalzi (offensivi, difensivi) e come questi si traducono in successo sul campo.
Formule
Le formule che usiamo si concentrano su diversi aspetti dei rimbalzi, come recuperare la palla dopo un tiro sbagliato o proteggere il canestro. Ogni formula ci dà un’idea di come le squadre gestiscono e sfruttano i rimbalzi durante le partite. L’obiettivo è vedere quale impatto hanno questi fattori sulle vittorie.
\(\text{Formula1} = \frac{\text{Rimbalzi offensivi in attacco}}{\text{Tiri sbagliati su azione}}\)
- Formula 1: Efficienza nel Rimbalzo Offensivo
Questa formula calcola la percentuale di rimbalzi offensivi catturati dalla squadra in seguito ai tiri mancati. Il numeratore, “Rimbalzi offensivi in attacco”, rappresenta il totale dei rimbalzi catturati dopo un tiro mancato dall’attacco. Il denominatore, “Tiri sbagliati su azione”, è il numero totale di tiri non riusciti dalla squadra. Il quoziente fornisce un indice diretto della competenza di una squadra nel mantenere il possesso della palla dopo un tentativo di tiro fallito, un aspetto cruciale per generare opportunità di punteggio aggiuntive.
\(\text{Formula2} = \frac{\text{Rimbalzi difensivi in difesa presi}}{\text{Tiri sbagliati su azione degli avversari}}\)
- Formula 2: Competenza nel Rimbalzo Difensivo Questa formula misura l’efficacia della squadra nel recuperare i rimbalzi difensivi. Il numeratore, “Rimbalzi difensivi in difesa presi”, indica il totale dei rimbalzi catturati dalla squadra in difesa. Il denominatore, “Tiri sbagliati su azione degli avversari”, è il numero di tiri falliti dalla squadra avversaria. Il risultato fornisce un’indicazione quantitativa della capacità di una squadra di terminare l’attacco avversario e iniziare una transizione offensiva, elemento fondamentale per il controllo del flusso di gioco.
\(\text{Formula3} = \frac{\text{Palle riprese in attacco} + 1.5 \times \text{Palle riprese in difesa}}{\text{Palle perse in attacco} + 2 \times \text{Rimbalzi subiti in difesa}}\)
- Formula 3: Bilancio Rimbalzi/Palle Perse Questa formula presenta un rapporto complesso, dove il numeratore somma “Palle riprese in attacco” (rimbalzi offensivi) e “Palle riprese in difesa” (rimbalzi difensivi) moltiplicate per 1.5, un fattore che sottolinea l’importanza dei rimbalzi difensivi. Il denominatore combina “Palle perse in attacco” e “Rimbalzi subiti in difesa” moltiplicati per 2, indicando le occasioni perse di recupero di rimbalzi. Questa formula è progettata per valutare la gestione globale dei rimbalzi da parte di una squadra, enfatizzando il valore della difesa rispetto all’attacco.
\(\text{Formula4} = (\text{Palle riprese in attacco - Palle perse in attacco}) + 1.5*(\text{Palle riprese in difesa - Palle perse in difesa})\)
- Formula 4: Efficienza Rimbalzi Netta Questa formula calcola la differenza netta tra i rimbalzi catturati e quelli persi, sia in attacco che in difesa, applicando un coefficiente di 1.5 ai rimbalzi difensivi. Il calcolo evidenzia il saldo netto di rimbalzi catturati contro quelli persi, con un’enfasi aggiuntiva sulla componente difensiva. Questo indice fornisce una misura diretta dell’efficacia complessiva di una squadra nel dominare il gioco sui rimbalzi.
\(\text{Formula5} = \frac{(\frac{\text{Rimbalzi subiti in difesa}}{\text{Palle perse in difesa}})}{(\frac{\text{Rimbalzi subiti in attacco}}{\text{Palle perse in attacco}})}\)
- Formula 5: Rapporto Rimbalzi/Palle Perse Questa formula offre un confronto tra l’effetto dei rimbalzi sulla perdita di palla in attacco e in difesa. Il numeratore rappresenta il rapporto tra “Rimbalzi subiti in difesa” e “Palle perse in difesa”, mentre il denominatore fa lo stesso per l’attacco. Questo rapporto mette in luce l’impatto dei rimbalzi sulle opportunità perse, sia in termini di difesa che di attacco.
\(\text{Formula6} = (\text{Rimbalzi ottenuti in attacco} + \text{Rimbalzi ottenuti in difesa}) - (\text{Rimbalzi subiti in difesa} - \text{Rimbalzi subiti in attacco})^2\)
- Formula 6: Bilancio Complessivo Rimbalzi
Questa formula calcola un indice che tiene conto sia dei rimbalzi ottenuti in attacco (Rimbalzi ottenuti in attacco) e in difesa (Rimbalzi ottenuti in difesa), sia dei rimbalzi subiti in difesa (Rimbalzi subiti in difesa) e in attacco (Rimbalzi subiti in attacco), elevando al quadrato la differenza tra i rimbalzi subiti. Offre una visione complessiva dell’efficacia della squadra nel controllo dei rimbalzi sotto entrambi i canestri.
\(\text{Formula7} = (\text{Efficienza nel Rimbalzo Offensivo} + \text{Competenza nel Rimbalzo Difensivo})^2\)
- Formula 7: Sinergia Tra Rimbalzi Offensivi e
Difensivi
Combina le misurazioni dell’efficienza nei rimbalzi offensivi (Efficienza nel Rimbalzo Offensivo) e difensivi (Competenza nel Rimbalzo Difensivo), elevandone la somma al quadrato. Questo calcolo evidenzia l’importanza della sinergia tra le due componenti del gioco sui rimbalzi.
\(\text{Formula8} = \frac{\text{Rimbalzi ottenuti in attacco}}{\text{Totale rimbalzi in attacco}}\)
- Formula 8: Proporzione Rimbalzi Offensivi
Questa formula determina la percentuale dei rimbalzi offensivi (Rimbalzi ottenuti in attacco) sul totale dei rimbalzi in attacco (Totale rimbalzi in attacco). Fornisce un’indicazione diretta dell’efficienza di una squadra nel recuperare la palla dopo i tiri falliti in attacco.
\(\text{Formula9} = \left(\frac{\text{Rimbalzi ottenuti in attacco}}{\text{Rimbalzi subiti in attacco}}\right)^2\)
- Formula 9: Predominanza dei Rimbalzi
Offensivi
Calcola il rapporto tra i rimbalzi offensivi ottenuti (Rimbalzi ottenuti in attacco) e i rimbalzi subiti in attacco (Rimbalzi subiti in attacco), elevato al quadrato. Questa formula enfatizza la capacità di una squadra di dominare sotto il proprio canestro in fase offensiva.
\(\text{Formula10} = \left(\frac{\text{Rimbalzi ottenuti in difesa}}{\text{Rimbalzi subiti in difesa}}\right)^2\)
- Formula 10: Predominanza dei Rimbalzi
Difensivi
Analoga alla Formula 9, ma applicata al contesto difensivo. Misura il rapporto tra i rimbalzi difensivi ottenuti (Rimbalzi ottenuti in difesa) e i rimbalzi subiti in difesa (Rimbalzi subiti in difesa), elevato al quadrato. Sottolinea l’efficacia di una squadra nel proteggere il proprio canestro in fase difensiva.
Modello lineare sul dataframe train
Legenda significato acronimi:
- o_oreb: Rimbalzi ottenuti in attacco
- o_dreb: Rimbalzi subiti in attacco
- o_reb: Totale rimbalzi in attacco
- d_oreb: Rimbalzi subiti in difesa
- d_dreb: Rimbalzi ottenuti in difesa
- d_reb: Totale rimbalzi in difesa
# Definizione di nuove variabili
df$f1 <- (df$o_oreb) / (df$o_fga - df$o_fgm)
df$f2 <- (df$d_dreb) / (df$d_fga - df$d_fgm)
df$f3 <- (df$o_oreb + 1.5 * df$d_dreb) / (df$o_dreb + 2 * df$d_oreb)
df$f4 <- (df$o_oreb - df$o_dreb) + 1.5 * (df$d_dreb - df$d_oreb)
df$f5 <- (df$d_oreb / df$d_to) / (df$o_dreb / df$o_to)
df$f6 <- (df$o_oreb + df$d_dreb) - (df$d_oreb - df$o_dreb)^2
df$f7 <- (df$f1 + df$f2)^2
df$f8 <- (df$o_oreb) / (df$o_reb)
df$f9 <- ((df$o_oreb) / (df$o_dreb))^2
df$f10 <- ((df$d_dreb) / (df$d_oreb))^2Divisione dataframe in train e test
Si esegue la divisione del dataframe df in un set di addestramento (train) e un set di test (test). La divisione è effettuata campionando casualmente il 70% delle righe per l’addestramento e utilizzando il restante 30% per il test. Successivamente, viene creato il modello lineare utilizzando le variabili predittive sopra create per prevedere la variabile di risposta won nel set di addestramento.
# Divisione in Test e Train per evitare che il modello fitti troppo bene sui nostri dati
sample <- sample(c(TRUE, FALSE), nrow(df), replace=TRUE, prob=c(0.7, 0.3))
df = subset(df, select = c("f1", "f2", "f3", "f4", "f5", "f6", "f7", "f8", "f9", "f10", "won", "divID", "confID"))
train <- df[sample, ]
test <- df[!sample, ]
#ATTENZIONE: facendo il train sul valore delle variabili, questo significa che sono esse ad essere i nostri dati, non i rimbalzi in se.
# Creazione del modello lineare
linMod <- lm(won ~ f1 + f2 + f3 + f4 + f5 + f6 + f7 + f8 + f9 + f10, data = train)
summary(linMod)##
## Call:
## lm(formula = won ~ f1 + f2 + f3 + f4 + f5 + f6 + f7 + f8 + f9 +
## f10, data = train)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
<<<<<<< HEAD
## -10.7664 -3.1381 0.1452 3.1008 13.1676
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 9.954e+02 8.555e+01 11.635 < 2e-16 ***
## f1 -5.311e+02 1.469e+02 -3.616 0.000325 ***
## f2 -9.549e+02 1.554e+02 -6.145 1.48e-09 ***
## f3 -4.153e+02 3.473e+01 -11.961 < 2e-16 ***
## f4 7.826e-02 7.973e-03 9.816 < 2e-16 ***
## f5 -1.828e+02 4.705e+00 -38.848 < 2e-16 ***
## f6 1.300e-05 1.554e-06 8.364 4.45e-16 ***
## f7 4.132e+02 7.759e+01 5.325 1.44e-07 ***
## f8 -3.137e+02 7.430e+01 -4.222 2.80e-05 ***
## f9 3.863e+01 2.134e+01 1.810 0.070818 .
## f10 4.859e+00 9.061e-01 5.363 1.18e-07 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 4.602 on 585 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.8673, Adjusted R-squared: 0.865
## F-statistic: 382.3 on 10 and 585 DF, p-value: < 2.2e-16Modello lineare normalizzato sul dataframe train
Normalizzazione
La normalizzazione dei dati è una pratica fondamentale nell’elaborazione di modelli statistici, specialmente nei modelli lineari. Questo processo è volto a standardizzare la scala delle variabili, rendendo più agevole il confronto tra di esse e migliorando l’efficienza dell’algoritmo di regressione. In particolare, la normalizzazione è cruciale quando le variabili hanno scale molto diverse, poiché ciò potrebbe influenzare negativamente la precisione del modello.
Nel codice R seguente, abbiamo normalizzato le variabili del nostro
dataframe ‘df’, utilizzando la funzione scale. Questo
assicura che ciascuna variabile contribuisca in modo equo al modello,
permettendo una più accurata interpretazione dei coefficienti della
regressione lineare.
# Normalizziamo le covariate
train$f1_z <- scale(train$f1)
train$f2_z <- scale(train$f2)
train$f3_z <- scale(train$f3)
train$f4_z <- scale(train$f4)
train$f5_z <- scale(train$f5)
train$f6_z <- scale(train$f6)
train$f7_z <- scale(train$f7)
train$f8_z <- scale(train$f8)
train$f9_z <- scale(train$f9)
train$f10_z <- scale(train$f10)
# Normalizzo i dati di test
test$f1_z <- scale(test$f1)
test$f2_z <- scale(test$f2)
test$f3_z <- scale(test$f3)
test$f4_z <- scale(test$f4)
test$f5_z <- scale(test$f5)
test$f6_z <- scale(test$f6)
test$f7_z <- scale(test$f7)
test$f8_z <- scale(test$f8)
test$f9_z <- scale(test$f9)
test$f10_z <- scale(test$f10)
linModNormalized <- lm(won ~ f1_z + f2_z + f3_z + f4_z + f5_z + f6_z + f7_z + f8_z + f9_z + f10_z, data = train)Grafici
I quattro grafici costituiscono un’esplorazione diagnostica del modello di regressione lineare applicato per analizzare la correlazione tra i rimbalzi (sia offensivi che difensivi) e le vittorie di una squadra di basket.
Il primo grafico, denominato “Residui Standardizzati vs Valori Adattati”, mette in luce la relazione tra i residui del modello e i valori predetti. La distribuzione casuale dei punti attorno all’asse orizzontale è un indicatore della qualità dell’adattamento del modello. La linea rossa tratteggiata offre un riferimento per identificare eventuali pattern sistematici nei residui che potrebbero suggerire non linearità, eteroscedasticità o punti influenti.
Il secondo grafico è un “Q-Q Plot dei Residui Standardizzati”, che confronta la distribuzione dei residui del modello con quella che ci si aspetterebbe da una distribuzione normale. Questo tipo di grafico è cruciale per valutare l’assunzione della normalità dei residui, un presupposto fondamentale della regressione lineare. I punti seguono la linea diagonale rappresentativa della distribuzione normale teorica, e le deviazioni da questa linea possono indicare deviazioni dalla normalità.
Il terzo grafico, “Scale-Location” (o Spread-Location Plot), è utilizzato per verificare l’assunzione di omoscedasticità, ovvero la costanza della varianza dei residui attraverso il range dei valori predetti dal modello. Una dispersione uniforme dei punti lungo l’asse orizzontale suggerisce che la varianza dei residui è costante. Variazioni significative da questa uniformità possono indicare eteroscedasticità, che è una violazione di un’altra assunzione fondamentale della regressione lineare.
Il quarto grafico presenta il “Q-Q Plot dei Residui” con la distanza di Cook, che è una misura dell’influenza di ogni osservazione sui parametri stimati del modello. Valori elevati della distanza di Cook possono indicare punti con un’influenza sproporzionata, che potrebbero essere considerati outlier o punti di leva che meritano un’ulteriore indagine.
Ecco cosa possiamo dedurre da questi grafici:
L’analisi del primo grafico rivela una disposizione abbastanza casuale dei residui attorno allo zero, suggerendo che il modello non presenta errori sistematici nella predizione. Tuttavia, la presenza di alcuni punti distanti dalla massa centrale potrebbe indicare la presenza di outliers o di punti con pattern di varianza non catturati dal modello.
Il secondo grafico, il Q-Q plot, mostra una generale aderenza alla linea teorica, con alcune deviazioni evidenti nelle code. Queste deviazioni possono suggerire la presenza di outliers o che la distribuzione dei residui è leggermente asimmetrica, questioni che richiedono un’attenta valutazione.
Nel terzo grafico, la dispersione non uniforme dei punti suggerisce che la varianza dei residui non è costante per tutti i valori predetti, un fenomeno noto come eteroscedasticità. Questo aspetto potrebbe essere mitigato attraverso trasformazioni dei dati o l’utilizzo di modelli più complessi che tengono conto di varianze eterogenee.
Il quarto grafico mostra che la maggior parte delle osservazioni ha una distanza di Cook bassa, il che implica un impatto minimo sulla stima dei parametri del modello. Tuttavia, ci sono alcuni punti che superano la soglia suggerita, indicati con i numeri di osservazione, che potrebbero essere esaminati più a fondo per comprendere la loro potenziale influenza sulle previsioni del modello.
Test modello lineare
Il processo di test di un modello lineare è cruciale per assicurare la sua affidabilità e accuratezza. Questa fase prevede la valutazione di vari aspetti del modello, come l’adattamento dei dati, la normalità dei residui, l’omoschedasticità e la multicollinearità. Ognuno di questi test fornisce un’indicazione su come il modello si adatta ai dati e su eventuali problemi che potrebbero influenzarne le prestazioni.
Summary
Per una comprensione immediata del modello, è utile visualizzare il
riepilogo tramite summary(linModNormalized). Questo
fornisce dettagli sui coefficienti, la significatività statistica e
altre metriche chiave.
summary (linModNormalized)##
## Call:
## lm(formula = won ~ f1_z + f2_z + f3_z + f4_z + f5_z + f6_z +
## f7_z + f8_z + f9_z + f10_z, data = train)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
<<<<<<< HEAD
## -10.7664 -3.1381 0.1452 3.1008 13.1676
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 41.0268 0.1885 217.656 < 2e-16 ***
## f1_z -17.0752 4.7222 -3.616 0.000325 ***
## f2_z -45.7897 7.4515 -6.145 1.48e-09 ***
## f3_z -27.0332 2.2601 -11.961 < 2e-16 ***
## f4_z 21.1095 2.1505 9.816 < 2e-16 ***
## f5_z -13.0959 0.3371 -38.848 < 2e-16 ***
## f6_z 6.8300 0.8166 8.364 4.45e-16 ***
## f7_z 34.2653 6.4345 5.325 1.44e-07 ***
## f8_z -10.4063 2.4645 -4.222 2.80e-05 ***
## f9_z 2.4299 1.3426 1.810 0.070818 .
## f10_z 7.1405 1.3315 5.363 1.18e-07 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 4.602 on 585 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.8673, Adjusted R-squared: 0.865
## F-statistic: 382.3 on 10 and 585 DF, p-value: < 2.2e-16R-quadrato
Il test R-quadrato misura la proporzione della varianza totale della
variabile dipendente che viene spiegata dal modello di regressione. Un
R-quadrato elevato indica che una grande parte della varianza nella
variabile dipendente può essere spiegata dalle variabili indipendenti
nel modello.
- Range: 0 a 1
- Interpretazione: 0 indica nessuna spiegazione della
varianza da parte del modello. 1 indica una spiegazione completa della
varianza da parte del modello.
summary_linModNormalized <- summary(linModNormalized)
r_squared <- summary_linModNormalized$r.squared
cat("R-quadro:", r_squared, "\n")## R-quadro: 0.8672763## R-quadro: 0.8614021R-quadrato Adattato
Il R-quadrato adattato modifica il R-quadrato per tenere conto del
numero di predittori nel modello. È più affidabile per i modelli con
molteplici variabili indipendenti, poiché penalizza la complessità
aggiuntiva, fornendo una misura più realistica della bontà di
adattamento.
- Range: Può essere negativo, ma generalmente 0 a
1
- Interpretazione: Valori più vicini a 1 indicano una
migliore spiegazione della varianza, considerando il numero di
predittori.
n <- length(train$o_reb)
k <- length(linModNormalized$coefficients) - 1
adjusted_r_squared <- 1 - ((1 - r_squared) * (n - 1) / (n - k - 1))
cat("R-quadro adattato:", adjusted_r_squared, "\n")## R-quadro adattato: 0.9879342## R-quadro adattato: 0.9874002Test Shapiro
Il test di Shapiro-Wilk sui residui è utilizzato per valutare la
normalità dei residui in un modello di regressione lineare. La normalità
dei residui è un’assunzione critica in molti test statistici. Se i
residui non seguono una distribuzione normale, le inferenze sulle stime
dei parametri potrebbero essere invalide.
- Range: 0 a 1
- Interpretazione: Valori più vicini a 1 suggeriscono
una maggiore probabilità che i residui seguano una distribuzione
normale.
shapiro.test(residuals(linModNormalized))##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: residuals(linModNormalized)
<<<<<<< HEAD
## W = 0.99548, p-value = 0.08053Test di omoschedasticità
Il test di Breusch-Pagan verifica l’assunzione di omoschedasticità
(varianza costante) dei residui in un modello di regressione. La
presenza di eteroschedasticità (varianza non costante) nei residui può
portare a stime inefficaci e test statistici non affidabili.
- Range: 0 a \(+\infty\)
- Interpretazione: Valori più alti indicano una
maggiore probabilità di eteroschedasticità. Si confronta il valore del
test con un valore critico (ad es., da una distribuzione chi-quadrato)
per determinare la significatività.
bptest(linModNormalized)##
## studentized Breusch-Pagan test
##
## data: linModNormalized
<<<<<<< HEAD
## BP = 26.444, df = 10, p-value = 0.003187Test di multicollinearità
Il test di multicollinearità verifica se esiste una correlazione
elevata tra le variabili indipendenti in un modello di regressione
lineare. La multicollinearità può causare problemi nella stima dei
coefficienti del modello, rendendo difficili l’interpretazione e la
significatività statistica delle variabili indipendenti. Strumenti
comuni per rilevarla includono il fattore di inflazione della varianza
(VIF) e l’indice di tolleranza.
- Range del VIF: 1 a \(+\infty\)
- Interpretazione: 1 indica assenza di
multicollinearità. Valori superiori a 5 o 10 sono spesso considerati
indicatori di multicollinearità significativa.
car::vif(linModNormalized)## f1_z f2_z f3_z f4_z f5_z f6_z
<<<<<<< HEAD
## 626.561455 1560.124158 143.526176 129.948434 3.193017 18.736083
## f7_z f8_z f9_z f10_z
## 1163.347719 170.660593 50.645682 49.816310Rimozione outliers e LASSO
Nel perfezionare i modelli statistici, la gestione degli outliers è cruciale. Gli outliers possono distorcere significativamente i risultati e portare a stime dei parametri poco affidabili. La loro rimozione o adeguato trattamento è fondamentale per aumentare la precisione del modello. Tale processo non solo migliora la validità delle inferenze statistiche ma anche la capacità del modello di generalizzare a dati non osservati.
Parallelamente, tecniche di regolarizzazione come LASSO (Least Absolute Shrinkage and Selection Operator) si rivelano preziose. LASSO penalizza la grandezza assoluta dei coefficienti di regressione, con l’effetto diretto di ridurre il sovradimensionamento (overfitting) e favorire la selezione delle variabili. Attraverso la contrazione dei coefficienti verso zero, LASSO contribuisce a escludere predittori non informativi, affinando il modello sui fattori più rilevanti.
Incorporando LASSO, possiamo quindi affrontare due problematiche fondamentali: la riduzione della complessità del modello e l’incremento dell’interpretabilità dei dati. La rimozione degli outliers, combinata con l’approccio selettivo di LASSO, è una strategia potente per migliorare la robustezza e l’efficacia del nostro modello lineare, ottimizzando la correlazione tra i rimbalzi e le vittorie.
Identificazione degli Outliers
La prima fase nel perfezionamento del modello implica l’identificazione accurata degli outliers. Per questa operazione, adottiamo un grafico di influenza, uno strumento grafico che mette in evidenza le osservazioni che esercitano un’influenza eccessiva sulla stima dei parametri.
Questo tipo di grafico è utilizzato per valutare l’effetto che ogni osservazione ha sulla stima dei coefficienti del modello. Le dimensioni dei cerchi sono proporzionali alla distanza di Cook, una misura che combina la deviazione dei residui standardizzati (sull’asse verticale) e il leverage o hat-values (sull’asse orizzontale). Un valore di leverage alto indica che l’osservazione ha un grande impatto sulla forma del modello, mentre residui standardizzati grandi indicano deviazioni dai valori predetti. La combinazione di entrambi può segnalare punti potenzialmente influenti o outlier.
Esaminando il grafico, si notano alcune osservazioni con cerchi di dimensioni maggiori, in particolare le osservazioni 957, 822 e 769, che hanno una distanza di Cook relativamente alta e quindi esercitano un’influenza maggiore sul modello rispetto ad altre osservazioni. Queste osservazioni dovrebbero essere esaminate attentamente, poiché la loro rimozione o la correzione dei dati sottostanti potrebbe significativamente alterare i coefficienti stimati nel modello di regressione.
Valutiamo i residui rispetto ai valori predetti e definiamo come outliers quegli osservazioni la cui deviazione dalla media supera un limite prefissato, che in questo contesto è stabilito a due deviazioni standard.
# Calcola i residui dal modello di regressione lineare normalizzato
residui <- residuals(linModNormalized)
# Definisci una soglia per gli outlier
soglia_outlier <- 2
outliers <- which(abs(residui) > soglia_outlier*sd(residui))
# Identifica gli outlier basati sulla soglia definita
outliers <- which(abs(residui) > soglia_outlier * sd(residui))
outliers## 470 529 638 693 799 822 900 914 929 936 940 945 963 1026 1107 1128
## 22 62 139 178 261 277 320 333 343 348 351 354 367 391 449 463
## 1139 1151 1161 1181 1196 1205 1263 1270 1301 1306
## 472 479 487 503 512 517 563 568 590 595## 440 470 519 541 582 624 638 652 769 799 891 900 936 957 1022 1026
## 1 25 60 76 105 134 146 159 238 255 321 327 357 369 395 399
## 1055 1076 1107 1128 1139 1151 1161 1196 1205 1224 1263 1301
## 419 428 451 463 469 476 483 507 513 528 558 585Rimozione degli Outliers
Identificati gli outliers, procediamo con la loro esclusione dal dataset utilizzato per l’addestramento del modello. Tale rimozione mira a migliorare la robustezza e la generalizzabilità del modello.
# Rimuovi gli outliers e ricrea il modello lineare normalizzato
if (length(outliers) != 0) {
train_1 <- train[-outliers,]
} else {
train_1 <- train # questo è il caso in cui non siano presenti outliers
}
# ATTENZIONE: facendo il train sul valore delle variabili, questo significa
# che sono esse ad essere i nostri dati, non i rimbalzi in sé.Confronto dei Modelli Prima e Dopo la Rimozione degli Outliers
Il confronto tra i modelli prima e dopo l’eliminazione degli outliers è vitale per valutare l’efficacia di questo intervento. Analizziamo i riepiloghi statistici del modello per discernere le variazioni nelle performance.
Prima della Rimozione degli Outliers:
Si esamina il sommario del modello originale per stabilire un benchmark delle prestazioni.
##
## Call:
## lm(formula = won ~ f1_z + f2_z + f3_z + f4_z + f5_z + f6_z +
## f7_z + f8_z + f9_z + f10_z, data = train)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
<<<<<<< HEAD
## -10.7664 -3.1381 0.1452 3.1008 13.1676
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 41.0268 0.1885 217.656 < 2e-16 ***
## f1_z -17.0752 4.7222 -3.616 0.000325 ***
## f2_z -45.7897 7.4515 -6.145 1.48e-09 ***
## f3_z -27.0332 2.2601 -11.961 < 2e-16 ***
## f4_z 21.1095 2.1505 9.816 < 2e-16 ***
## f5_z -13.0959 0.3371 -38.848 < 2e-16 ***
## f6_z 6.8300 0.8166 8.364 4.45e-16 ***
## f7_z 34.2653 6.4345 5.325 1.44e-07 ***
## f8_z -10.4063 2.4645 -4.222 2.80e-05 ***
## f9_z 2.4299 1.3426 1.810 0.070818 .
## f10_z 7.1405 1.3315 5.363 1.18e-07 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 4.602 on 585 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.8673, Adjusted R-squared: 0.865
## F-statistic: 382.3 on 10 and 585 DF, p-value: < 2.2e-16Dopo la Rimozione degli Outliers:
Una volta esclusi gli outliers, ricostruiamo il modello e esaminiamo nuovamente il grafico di influenza per osservare come l’eliminazione abbia modificato l’impatto delle osservazioni sui parametri stimati.
##
## Call:
## lm(formula = won ~ f1_z + f2_z + f3_z + f4_z + f5_z + f6_z +
## f7_z + f8_z + f9_z + f10_z, data = train_1)
##
## Residuals:
<<<<<<< HEAD
## Min 1Q Median 3Q Max
## -9.1682 -3.0097 0.1356 3.0077 8.9751
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 40.9955 0.1729 237.068 < 2e-16 ***
## f1_z -10.9265 4.5029 -2.427 0.01556 *
## f2_z -36.9442 7.0982 -5.205 2.73e-07 ***
## f3_z -26.7290 2.0682 -12.924 < 2e-16 ***
## f4_z 20.8487 1.9545 10.667 < 2e-16 ***
## f5_z -13.1607 0.3101 -42.439 < 2e-16 ***
## f6_z 6.8368 0.7441 9.188 < 2e-16 ***
## f7_z 26.3492 6.1550 4.281 2.19e-05 ***
## f8_z -11.8415 2.2527 -5.257 2.09e-07 ***
## f9_z 3.6071 1.2297 2.933 0.00349 **
## f10_z 6.9218 1.2107 5.717 1.76e-08 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 4.126 on 559 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.8913, Adjusted R-squared: 0.8893
## F-statistic: 458.3 on 10 and 559 DF, p-value: < 2.2e-16Grafico di Influenza:
La metodologia è identica a quella del primo grafico, ma le osservazioni qui rappresentate possono essere differenti a causa delle variazioni nei dati o nei coefficienti inclusi in questo secondo modello. Di nuovo, i cerchi più grandi rappresentano una maggiore distanza di Cook e quindi una maggiore influenza sull’adattamento del modello.
In questo grafico, l’osservazione 769 si distingue nuovamente come la più influente, indicando che questo punto dati è particolarmente critico per entrambi i modelli di regressione. Altre osservazioni, come le 693 e 1206, mostrano anche un’alta influenza ma in misura minore rispetto al modello addestrato con gli outliers.
